☆ e

On sait que la suite $\left(u_n\right)$  définie sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$  par $u_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}}$  est convergente. L'objectif est de démontrer que cette suite tend vers $\text{e}$ .

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ . On pose $f$  la fonction définie sur $[0;1]$  par $f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}{\text{e}}^{-x}}$ .

1. a. Calculer $f(0)$ .
    b. Exprimer $f(1)$  en fonction de $u_n$ .

2. a. Démontrer que $f$  est strictement décroissante sur $[0;1]$ .
    b. En déduire que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $u_n<\text{e}$ .

3. Soit $g$  la fonction définie sur $[0;1]$  par $g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{x}{n!}}$ .
    a. Démontrer que $g$  est strictement croissante sur $[0;1]$ .
    b. En déduire que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $u_n>(1-{\displaystyle \frac{1}{n!}})\text{e}$ .

4. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .

Remarque
On dit que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{\displaystyle \frac{1}{k!}}}$  est convergente et on écrit : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k!}}=\text{e}}$ .